கணக்கு புதிர்

ஒருவர் முட்டைகளை தட்டுகளில் அடுக்கி, சைக்கிளில் வைத்து எடுத்து செல்லும் பொது எதிரே வேகமாக வந்த ஆட்டோ அவர் சைக்கிளை லேசாக மோதி தள்ளிவிட்டுச் சென்றது. இதனால் சைக்கிள் பின்னால் கட்டி வைக்கப்பட்டிருந்த முட்டைகள் சரிந்து விழுந்ததில் பல முட்டைகள் உடைந்து விட்டன. உடையாமல் எஞ்சிய முட்டைகளை எடுத்து எண்ணிப்பார்த்து உடைந்த முட்டைகள் எவ்வளவு என்று கணக்கிட்டுப்பார்த்தான்.

      உடைந்த முட்டைகளின் எண்ணிக்கையை 2,3,4,5,6 ஆல் வகுக்க 1மீதியும், 7 ஆல் வகுக்க மீதமின்றியும் இருக்கக்கூடிய ஒரு சிறிய எண்ணாக இருந்தது.  உடையாமல் எஞ்சிய முட்டைகளின் எண்ணிக்கையை 2 ஆல் வகுக்க 1 மீதியும், 3 ஆல் வகுக்க 2 மீதியும், 4 ஆல் வகுக்க 3 மீதியும், 5 ஆல் வகுக்க 4 மீதியும், 6 ஆல் வகுக்க 5 மீதியும் கிடைத்தன. ஆனால் இதுவும் 7 ஆல் மீதமின்றி வகுப்பட்டது எனில் உடைந்த முட்டைகள் எவ்வளவு? உடையாத முட்டைகள் எவ்வளவு?

விடை: உடைந்த முட்டையின் எண்ணிக்கையிலிருந்து 1 ஐக் கழிக்க கிடைக்கும் மீதிக்கு 2,3,4,5,6 ஆகியவை காரணிகளாக இருக்க வேண்டும்.  இவற்றைக் காரணிகளாக கொண்ட மிகச் சிறிய எண் 60. எனவே உடைந்த முட்டைகளின் எண்ணிக்கையிலிருந்து 1 ஐக் கழிக்கக் கிடைக்கும் மீதிக்கும் 60 ஒரு காரணியாக இருக்க வேண்டும்.

60x = உடைந்த முட்டைகள் – 1

உடைந்த முட்டைகளுக்கு 7 ஒரு காரணி è 7y = உடைந்த முட்டைகள் .

எனவே, 60x = 7y -1 è 7y = 60x+1

x க்கு 1,2,3,4,5 என மதிப்புக் கொடுக்க கிடைப்பது 61,121,181,241,301 இதில் 301 மட்டுமே 7 ஆல் முழுமையாக வகுபடும். எனவே உடைந்த முட்டைகள் 301.

உடையாமல் எஞ்சிய முட்டைகளின் எண்ணிக்கைக்கு 7 ஒரு காரணி.

ஆறால் வகுக்க 5 மீதி என்பதால் அவ்வெண் 4 அல்லது 9ல் முடியும். 2ஆல் வகுக்க 1 மீதி என்பதால் அது ஒற்றை எண்ணாக இருக்க வேண்டும். எனவே 7 ஆல் வகுபடக் கூடிய 9 ல் முடியும் எண்கள் 49,199,189,259,329... இதில் 119 மட்டுமே பிற நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்யும்.

119 = 59 x 2 + 1

    = 39 x 3+ 2

    = 29 x 4+ 3

    = 23 x 5 +  4

    = 19 x 6 +  5

    = 17 x 7 +  0

எனவே உடையாமல் எஞ்சிய முட்டைகள் 119 ஆகும். எனவே அவர் எடுத்துச்சென்ற மொத்த முட்டைகள் = 301 + 119  =  420